回帰モデルの推定

今後の国民の収入がわかれば、
今後の国民の支出もわかる。

Y=β+βX+εを正確に推定する。
正確に推定する方法でベストな方法が1つあります。

それが最小2乗法です。

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最小2乗原理

国民の外食の支出の予測がわかれば、
国内自給率の予測もできる。

散布図の点からの
距離が一番最小な直線なのがベストですね。

点がわかれば、線がわかります。

=a+bx

もしモデルが完璧ならば、
yの値は現実の値と一致します。

回帰モデルが完璧なら、

yーy=0
というわけです。

もし誤差が生じたとしても、
誤差が限りなく小さいほうが良いモデルとなります。

差があってもなくても、
e=yーy
表します。

このeがεなのです。

ちなみに、yが実験室で計測した理想の結果。
yは現実の実態。

eは残渣です。

現実を実態に反映する。
実態を完璧に反映する。

研究者の目標は限りなく0に近づけることであります。
限りなく0に近づくモデルを創りあげなければ、
なりません。

つまり、eが0に近ければ近いほど良いモデルなのです。

e1990=y1990-y1990

e1995=y1995-y1995

e2016=y2016-y2016

Σは合計でしたよね。
Σe2=Σ(yーy)2=0

残差平方和Σe2を最小にする方法。
これが最小2乗法です。

回帰係数の推定式

単回帰方程式の推定式

β0

β0=(M∑XYー∑X∑Y)÷(M∑Xー(∑X)2))

β1

β1=(∑Yーβ1∑X)÷M
=(Yの平均値)ーβ0×(Xの平均値)

重回帰方程式の推定式

β0

β0=(Yの平均値)-β1(X1の平均)ーβ2(X2の平均)

β1

(S22×S1YーS12×S2Y)÷(S11×S2YーS11×S22ーS12 2)

β2

(S11×S2YーS12×S2Y)÷(S11×S22ーS122

S11

{∑X12ー(∑X1)2}÷M

S12

{∑X1X2-(∑X1∑X2)}÷M

S22

{∑X22ー(∑X2)2}÷M

S1Y

{∑X1Yー(∑X1∑Y)}÷M

S2Y

{∑X2Yー(∑X2∑Y)}÷M

推定過程と計算例

単回帰分析に必要な統計量

  • ∑X
  • ∑Y
  • ∑XY
  • ∑X2
  • ∑Y2

重回帰分析に必要な統計量

  • ∑X1
  • ∑X2
  • ∑Y
  • ∑X12
  • ∑X22
  • ∑Y2
  • ∑X1
  • X2
  • ∑X1Y
  • ∑X2Y

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